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1. Theoretischer Hintergrund

Für diejenigen, die mehr über den theoretischen Hintergrund unserer Online-Rechner wissen wollen, haben wir ein Dokument bereitgestellt, in dem detailliert die entsprechenden Inhalte vermittelt werden.

In Kürze

Auf dieser Seite wollen wir Ihnen die Berechnung nichtzentraler Konfidenzintervalle für Effektstärken anhand dreier Beispiele näher bringen. Die Berechnungsmethoden orientieren sich an den Ausführungen von Kline (2004), dessen Buch zur weiterführenden und vertiefenden Lektüre empfohlen wird.

 

Beispiel 1: t-Test für unabhängige Stichproben

Nehmen wir an, Sie haben einen t-Test für abhängige Stichproben durchgeführt. Der von Ihnen berechnete t-Wert beträgt $t=-0.33$ Die Stichprobengrößen sind $n_1=35$ und $n_2=33$. Der vorher festgesetzt kritische t-Wert ist $t_{(66;5%)}=-1.67$, das Ergebnis ist somit nicht auf dem 5%-Niveau signifikant.

Dennoch interessiert Sie die Größe des Effektes und Sie berechnen Hedges's g als Schätzung des Populationseffektes &delta:

\begin{displaymath}g=t\cdot\sqrt{n_1+n_2 \over n_1 n_2}=-0.33\cdot\sqrt{35+33 \over 35 \cdot 33}=-0.08.\end{displaymath}

Der Effekt ist also vernachlässigbar gering. Da g lediglich eine Schätzung des Populationseffektes δ ist, berechnen Sie das 95%-ige Konfidenzintervall des Parameters auf Basis nichtzentraler t-Verteilungen.

Zunächst finden Sie den Nichtzentralitätsparameter der eine t-Verteilung charakterisiert, bei welcher der Wert $t=-0.33$ bei 66 Freiheitsgraden rechts 2.5 % der Fläche abschneidet. Hierzu verwenden Sie ein Programm, das nichtzentrale Verteilungen beherrscht. Die SAS-Syntax zur Ermittelung des Nichtzentralitätsparameters lautet beispielsweise: 

ncp_low=tnonct(-0.33,66,0.975).

Als Ergebnis erhalten Sie den Wert $ncp_{low}=-2.2895$. Diesen Wert setzen sie an Stelle des empirischen t-Wertes in die Gleichung zur Berechnung von Hedges's g ein und erhalten den unteren Grenzwert des Intervalls.

\begin{displaymath}\delta=t\sqrt{n_1+n_2 \over n_1 n_2}=-2.2895\sqrt{35+33 \over 35 \cdot 33}=-0.5556\end{displaymath}
Der obere Grenzwert wird analog zum obigen Vorgehen ermittelt. Der gesuchte Nichtzentralitätsparameter ist nun jedoch derjenige bei der der Wert $t=-0.33$ bei 66 Freiheitsgraden links 2.5 % der Fläche abschneidet: 
ncp_up=tnonct(-0.33,66,0.025).

Der gefundene Wert lautet $ncp_{up}=1.6320$, welcher in die Gleichung zur Berechnung von g eingesetzt wird, um den oberen Grenzwert des Intervalls zu erhalten:
\begin{displaymath}\delta=t\sqrt{n_1+n_2 \over n_1 n_2}=1.6320\sqrt{35+33 \over 35 \cdot 33}=0.3960.\end{displaymath}
Wie Sie sehen, ist das Intervall sehr breit.


 

Beispiel 2: Einfaktorielle Varianzanalyse (single fixed factor design)

Nehmen wir an, Sie haben eine einfaktorielle Varianzanalyse mit $p=3$ Faktorstufen und $N=22$ Personen durchgeführt. Sie berechnen zur infefenzstatistischen Überprüfung des Haupteffektes einen F-Wert von $F=31.1$, welcher wesentlich größer ist, als der a priori festgelegte Wert von $F_{(2,19,0.99)}=5.93$. Zusätzlich ermitteln Sie $\hat{\eta}^2$ als Schätzer der aufgeklärten Populationsvarianz:

\begin{displaymath}\hat{\eta}^2=\frac{df_z \cdot F} {df_n + df_z \cdot F}=\frac{2 \cdot 31.1} {19 + 2 \cdot 31.1}=0.766.\end{displaymath}

Aufgrund der kleinen Stichprobengröße vermuten Sie, dass dass 99%-ige Konfindenzintervall der Effektgröße relativ breit sein wird. Um Ihre Vermutung zu überprüfen berechnen Sie das Intervall auf Basis der nichtzentralen F-Verteilungen.

Zur Ermittelung des unteren Grenzwertes des Intervalls finden Sie den Nichtzentralitätsparameter der eine F-Verteilung charakterisiert, bei welcher der Wert $F=31.1$ bei 2 Zählerfreiheitsgraden und 19 Nennerfreiheitsgraden rechts 0.5% der Fläche abschneidet: 

ncp_low=fnonct(31.1,2,19,0.995).

Als Ergebnis erhalten Sie den Wert $ncp_{low}=13.2097$, welchen Sie verwenden, um den unteren Grenzwert der Effektgröße zu bestimmen:

\begin{displaymath}\eta^2_{low}=\frac{ncp_{low}}{ncp_{low}+df_z+df_n+1}=\frac{13.2097}{13.2097+2+19+1}=0.3752.\end{displaymath}
Analog verfahren Sie zur Berechnung des oberen Grenzwertes. Sie ermitteln den entsprechenden Nichtzentralitätsparameter 
ncp_up=fnonct(31.1,2,19,0.005)ncp_up=144.5291
und transformieren diesen in den oberen Grenzwert des Intervalls:
\begin{displaymath}\eta^2_{up}=\frac{ncp_{up}}{ncp_{up}+df_z+df_n+1}=\frac{144.5291}{144.5291+2+19+1}=0.8679.\end{displaymath}


Beispiel 3: Konfidenzintervall für standardisierte Kontraste

Angenommen Sie interessiert die Frage, ob sich die Gruppen 2 und 3 aus obiger Varianzanalyse signifikant unterscheiden. Die Gruppengrößen betragen $n_1=7$, $n_2=6$, $n_3=9$. Mit den Kontrastkoeffizienten $c_1=0$, $c_2=1$ und $c_3=-1$ errechnen Sie einen Kontrast von $\hat{\Psi}=2.333$, sowie einen t-Wert von $t_{\hat{\Psi}}=2.967$. Dieser t-Wert überschreitet den vorher festgelegten, kritischen t-Wert von $t_{(19,0.975)}= 2.093$. Zur Bestimmung der Effektgröße wählen Sie eine Extension von Hedges's g für Designs mit drei oder mehr Gruppen als standardisierten Kontrast:

 

\begin{displaymath}g_{\hat{\Psi}}=t_{\hat{\Psi}}\sqrt{\sum^a_{i=1}\frac{c_i^2}{n_i}}\end{displaymath}

\begin{displaymath}g_{\hat{\Psi}}=2.967 \cdot \sqrt{\frac{0}{7}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}}=1.5638.\end{displaymath}

Der gefundene Wert ist eine Schätzung des unbekannten Populationsparameters $\delta_{\Psi}$.

Auf Basis nichtzentraler t-Verteilungen berechnen Sie analog zum Vorgehen in den Beispielen 1 und 2 die Grenzwerte des 95%-igen Konfidenzintervalls des Parameters $\delta_{\Psi}$.

Zunächst berechnen Sie die entsprechenden Nichtzentralitätsparameter: 

ncp_low=tnonct(2.967,19,0.975)ncp_low=0.7629

ncp_up=tnonct(2.967,19,0.025)ncp_up=5.1077

und transformieren dann die Parameter in die Grenzwerte des Konfidenzintervalls:

\begin{displaymath}\delta_{\Psi_{low}}=0.7629\cdot \sqrt{\frac{0}{7}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}}=0.4021\end{displaymath}

 

\begin{displaymath}\delta_{\Psi_{up}}=5.1077\cdot \sqrt{\frac{0}{7}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}}=2.6920.\end{displaymath}

Ihnen ist sicherlich aufgefallen, dass das Vorgehen in allen drei Beispielen nahezu identisch ist. Zunächst wird ein Effektstärke-Maß gewählt, das Mittels einer Prüfgröße ($t,F,\chi^2$) berechnet wird. Die Intervalle ergeben sich durch das Einsetzen der entsprechenden Nichtzentralitätsparameter an Stelle der Prüfgröße.

Der schwierigste Teil der Berechnungen besteht in der Ermittelung der jeweiligen Nichtzentralitätsparameter. Die weiteren Rechnungen lassen sich meist ohne weiteres mit dem Taschenrechner erledigen.

 

Übungen
  1. Vollziehen Sie die obigen Berechnungen mit unseren Online-Kalkulatoren nach.
  2. Angenommen Sie haben auf der Basis einer Stichprobe von $N=400$ einen 4-Felder $\chi^2$-Test gerechnet und erhalten den empirischen $\chi^2$-Wert von $\chi^2=14$. Berechnen Sie den Kontingenzkoeffizienten $\hat{\Phi}$ als Schätzung des Populationseffektes und bestimmen Sie das 95%-ige Konfidenzintervall mit Hilfe unseres Online-Rechners zu nichtzentralen $\chi^2$-Verteilungen.

 

Lösung:


 

Weiterführende Literatur:

Kline, R.B. (2004). Beyond significance testing: reforming data analysis methods in behavioral research. Washington, DC: APA.

Material

In Kürze
Zusammenfassung des Kapitels
Glossar
Die wichtigsten Fachbegriffe schlüssig erklärt
Memocards
Lernen Sie mit unseren Memocards die wichtigsten Begriffe der Forschungsmethoden und Evaluation